¿Cuál es la diferencia entre las palabras invoice vs. bill?

BILL = SERVICIO O CUENTA DE UN RESTAURANTE

• Bill era el written statement. 
• Se nombra así al papel de la moneda desde 1660 
• Se usa informalmente para el recibo de servicios o la cuenta de un restaurante. 
• Ejemplo: "Waiter, could you please bring me the bill?"

INVOICE = FACTURA

• Invoice era el "written account of the particulars and prices of merchandise shipped or sent" [la cuenta escrita de los particulares y los precios de la mercadería enviada] (...) literalmente "a sending".
• Viene de "envoy" (diplomático)
• Actualmente se utiliza para llamar a las facturas.
• Ejemplo: "The invoice address is not always the same as the shipping address".

Fuentes:

• Etymonline: bill, Etymonline: invoice, Etymonline: envoy, Wordreference: envoy, Wordreference: invoice